【戴德金分割】5
　　分割的3种可能…第3种：A没有最大元素，B也没有最小元素。例如A是所有负的有理数，零和平方小于2的正有理数，B是所有平方大于2的正有理数。
　　“平方等于2的数是分界点…”现代学者说。
　　“平方等于2的数，就是对2做开方运算后，得出的那个数…”现代学者接着说，“它可以用√2（根号2）表示——这一点，我们在前面《欧几里得23》中已做过详细叙述…”
　　““这里我们发散一下思维（让思维自由飞翔一下）：比1稍大的有理数，可以写作‘1.000…1’…”现代学者说，“这样的话，有理数就可以分为两个集合：≤1的有理数和≥‘1.000…1’的有理数…”
　　请看下集《欧几里得33、高等数学并不高深——用初中知识就能理解…》”
　　日期：2019-11-12 16:27:17
　　欧几里得33、高等数学并不高深——用初中知识就能理解…
　　【戴德金分割】5
　　分割的3种可能…第3种：A没有最大元素，B也没有最小元素。例如A是所有负的有理数，零和平方小于2的正有理数，B是所有平方大于2的正有理数。
　　“平方等于2的数是分界点…”现代学者说。
　　“平方等于2的数，就是对2做开方运算后，得出的那个数…”现代学者接着说，“它可以用√2（根号2）表示——这一点，我们在前面《欧几里得23》中已做过详细叙述…”
　　“分割的第3种可能，可以简略的叙述为：A没有最大元素，B也没有最小元素。例如A是所有＜√2的有理数，B是所有＞√2的有理数…”现代学者继续说。

　　【戴德金分割】6
　　根据大前提（见《欧几里得31》），集合A和集合B合并起来（简称“A和B的并集”）是所有有理数。（√2不是有理数。）
　　√2又是确确实实存在的一种数。
　　…
　　戴德金称第3种分割定义了一个无理数…或者简单的说这个分割就是一个无理数。
　　前面2种情况中（见《欧几里得32》），分割是有理数。
　　这样，所有可能的分割（既有有理数，又有无理数）构成了数轴上的每一个点…数轴上的点，统称实数。
　　“前提是实数和直线上的点有着一一对应关系…”戴德金说。
　　【戴德金分割】7
　　思考题：戴德金分割的第4种可能——A有最大元素a，B有最小元素b，例如A是所有≤1的有理数，B是所有≥1.1的有理数。
　　…有没有这种可能？

　　思考题简略版：A有a（max），B有b（min），例如A是所有≤1的有理数，B是所有≥1.1的有理数。
　　…有没有这种可能？
　　“这是不可能的，因为这样就会出现不存在于A、B两个集合中的有理数（例如上面例子中，1和1.1之间的有理数——1.01，1.001…），这与‘A和B的并集是所有有理数’矛盾…”现代学者说。
　　…前提：可以推出另一个判断的判断，如三段论中的大前提、小前提（见《欧几里得3》）…
　　【戴德金分割】8
　　“这里我们发散一下思维（让思维自由飞翔一下）：比1稍大的有理数，可以写作‘1.000…1’…”现代学者说，“这样的话，有理数就可以分为两个集合：≤1的有理数和≥‘1.000…1’的有理数…”
　　“这样的话…这个分割…既不是有理数，又不是无理数…”现代学者接着说，“这种分割不是一个数…这种分割是一个单纯的分割——比如，我们把1，2，3，4，5分成{1，2，3}、{4，5}两个集合，就是这样的分割…”
　　“存在这样的戴德金分割吗？…其实，这样的戴德金分割是不存在滴…”现代学者继续说，“问题的关键点在于‘1.000…1’…”
　　“‘1.000…1’是什么？…根据大前提，它是有理数——即‘比1稍大的有理数’…可有理数是能准确写出来的数（如整数、分数）…”现代学者最后说，“我们无法准确写出‘比1稍大的有理数’…”
　　““需要简洁的表示‘一堆数’‘数的集合’——最先产生这种需求的，是数学家…”现代学者说，“奇懒无比的的数学家…再次懒出天际…”
　　请看下集《欧几里得34、不食人间烟火的数学家与直线思维的美…》”
　　日期：2019-11-13 16:44:17
　　欧几里得34、不食人间烟火的数学家与直线思维的美…
　　“我们知道‘比1稍大的有理数’存在，但是却不能准确写出它…‘比1稍大的有理数’，其实是无理数…”现代学者说。
　　“‘1.000…1’是一个无理数，那么，戴德金分割的第4种可能里，有理数的两个集合就变成：≤1的有理数和＞1的有理数…”现代学者接着说。
　　“‘≤1的有理数和＞1的有理数’，这，其实就是戴德金分割的第1种可能（见《欧几里得32》）…”现代学者最后说。
　　对戴德金分割…网友“汇知园”有自己的思考…
　　…汇：1.河流会合——～为巨川。2.聚集——～总…
　　…知：知识…
　　…园：园子（种蔬菜、花果、树木的地方）…
　　…汇知园：聚集知识的园子…
　　“我觉得这部分内容（包括上确界，下确界这些东西），初中生是完全可以理解的…”汇知园说。

　　…上：1.方位词。位置在高处的——～部。～游。往～看。2.方位词。次序或时间在前的——～卷。～次。～半年…
　　…界：界限；范围…
　　…上界：上面的界限；上面的范围…
　　“数学上的‘上界’…是什么意思？”不明真相的吃瓜网友问。
　　“…一个实数集合M，如果有一个实数S，使得M中任何数都不超过S，那么就称S是M的一个上界…”网友“陈健聪smile”回答。
　　“？？？”吃瓜网友。
　　…smile：英语，意思是“微笑”…
　　…陈健聪：这可能是网友的真名…
　　…陈健聪smile：直译…意思是“陈健聪的微笑”“微笑的陈健聪”——这是网友的网名…
　　“陈健聪smile”的回答太复杂了，现在对它进行剖析…
　　（…剖析：解剖分析…）
　　一个实数集合M…
　　“‘一个实数集合M’…什么意思呢？…我们一点一点理解…”现代学者说。

　　“‘实数’的英语表达是——real number…”现代学者接着说，“‘real’的意思是‘真实的；实际存在的’，‘number’的意思是数字…”
　　“‘real number’合起来…意思是‘真实的数字；实际存在的数字’…”现代学者继续说。
　　“‘集合M’…这又是什么意思？”现代学者最后说。
　　“说起来，数学家是非常懒的——他们喜欢就地取材；他们从来不愿多想一下…”现代学者说。
　　“在数学的历史中，人们需要用字母表示数字…”现代学者接着说，“懒得出奇的数学家，便用number里的字母表示数字…”
　　“n和m，是他们最常用的，表示数字的俩字母…”现代学者继续说。
　　（“我选择n、m表示数字，不是因为我懒，而是因为——我看到n、m，就会想到number【数字】…”一位数学家说，“这叫‘直线思维’…”