…

　　“你永远无法理解直线思维的美…”数学家最后说。）
　　“数学家用m表示数字…”现代学者最后说，“随着时代发展…人们需要简洁的表示‘一堆数’‘数的集合’…”
　　“需要简洁的表示‘一堆数’‘数的集合’——最先产生这种需求的，是数学家…”现代学者说，“奇懒无比的的数学家…再次懒出天际…”
　　““这只是‘多思考一下’的劳动量…不需要花时间、花精力、花钱…但是数学家就是不愿意…”现代学者继续说。
　　“数学家…真是懒死了…”现代学者最后说。
　　请看下集《欧几里得35、用初中知识理解高等数学的重要概念——上确界，下确界》”
　　日期：2019-11-14 22:24:39
　　欧几里得35、用初中知识理解高等数学的重要概念——上确界，下确界
　　“需要简洁的表示‘一堆数’‘数的集合’——最先产生这种需求的，是数学家…”现代学者说，“奇懒无比的的数学家…再次懒出天际…”
　　“他们用‘大m’表示‘数的集合’…‘大m’即‘大写的m’，也就是M…”现代学者接着说，“解决‘表示【数的集合】’需求时，数学家甚至不愿意去找其它字母…”
　　“这只是‘多思考一下’的劳动量…不需要花时间、花精力、花钱…但是数学家就是不愿意…”现代学者继续说。
　　“数学家…真是懒死了…”现代学者最后说。
　　一个实数S…
　　“这个没啥好解释的，一个实数S就是一个实数S…”现代学者说。
　　（“这里，‘S’表示某个实数…”现代学者小声说。）
　　M中任何数都不超过S…
　　“M是一个实数集合，例如{1，2，3，4，5}…”现代学者说。
　　“M里的任何数都不能大于S——满足这个条件的S有很多…我们用刚才的例子进行说明…”现代学者接着说。
　　“对于{1，2，3，4，5}来说，S可以是5、6、7、8…”现代学者继续说，“1，2，3，4，5这五个数，都没能大于5…它们也没能大于6、没能大于7、没能大于8…”
　　“对{1，2，3，4，5}这个集合来说，5、6、7、8…都是符合条件的S…”现代学者最后说。
　　称S是M的一个上界…
　　“…用刚才的例子进行说明…5是{1，2，3，4，5}的一个上界，6是{1，2，3，4，5}的一个上界，7是{1，2，3，4，5}的一个上界…等等…”现代学者说。
　　…
　　“‘一个实数集合M，如果有一个实数S，使得M中任何数都不超过S，那么就称S是M的一个上界’…现在你理解这句话了吧…”现代学者最后说。

　　（“如果还不理解…我以后会用更通俗的话…讲这个知识点…”现代学者说。）
　　“在所有这些上界中，如果有一个最小的上界，就称它为M的上确界…”网友陈健聪smile说。
　　（…陈健聪smile：见《欧几里得34》…）
　　…上：1.方位词。位置在高处的——～部。～游。往～看。2.方位词。次序或时间在前的——～卷。～次。～半年…
　　…界：界限…

　　…确：确定…
　　…上界：上面的界限…
　　…上确界：上面确定的界限…
　　“…我们继续用前面的例子说明…”现代学者说，“对{1，2，3，4，5}这个集合来说，S可以是5、6、7、8…”
　　“在5、6、7、8…这些上界中，5是最小的上界…”现代学者接着说，“5就是M的上确界…”
　　“一个有界数集有无数个上界和下界，但是上确界却只有一个…”网友陈健聪smile说。
　　…有界数集：有最大数（上确界）和最小数（下确界）的数集…
　　“…我们还是用前面的例子说明…”现代学者说，“{1，2，3，4，5}是个有界数集…”

　　““大学教材…基本都是用希腊字母做证明…没有图示…”汇知园接着说，“‘确界’，其实都是集合理论…而集合理论…小学生都能理解…”
　　请看下集《欧几里得36、从本质上说，小学生都能理解大学教材…》”
　　日期：2019-11-15 22:03:24
　　欧几里得36、从本质上说，小学生都能理解大学教材…
　　“一个有界数集有无数个上界和下界，但是上确界却只有一个…”网友陈健聪smile说。
　　…有界数集：有最大数（上确界）和最小数（下确界）的数集…
　　…陈健聪smile：见《欧几里得34》…
　　“…我们还是用前面的例子说明…”现代学者说，“{1，2，3，4，5}是个有界数集…”
　　…前面的例子：指集合{1，2，3，4，5}…见《欧几里得34》…
　　“{1，2，3，4，5}这个集合的上界是：5，6，7，8…”现代学者接着说，“就是说，{1，2，3，4，5}有无数个上界…”
　　“{1，2，3，4，5}虽然有无数个上界，但是它的上确界只有一个，就是5…”现代学者继续说。
　　“‘一个有界数集有无数个上界和下界，但是上确界却只有一个’…就是这个意思…”现代学者最后说。

　　“理解了‘上确界’，便能理解‘下确界’…”现代学者说。
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　　“实数理论中，有一条叫‘确界原理’的公理…”陈健聪smile说。
　　…原理：自然科学和社会科学中的基本规律。是在大量观察、实践的基础上，经过归纳而得出的。既能指导实践，又能经受住实践的检验…
　　“原理可以作为其他规律的基础…”现代百姓说，“从原理出发，可以推导出各种具体的定理、命题…”
　　…
　　“原理在公理体系中，叫‘公理’…”现代百姓最后说。

　　…公理：指人类认为的、不证自明的事实（如“两点之间直线【其实是“线段”】最短；牛顿三定律…”）；经过人类长期反复实践的考验，不需要再加证明的命题…
　　（…命题：1、逻辑学指表达判断的句子，由系词把主词和宾词联系而成。例如：“北京是中国的首都”，这个句子就是一个命题。2、在数学中，一般把判断某一件事情的陈述句叫做命题…）
　　…公理体系一般指公理系统…
　　…公理系统：公理和以公理为依据，用三段论的方法推出的定理、推论…共同组成的系统，如欧几里得的《几何原本》（最初的公理系统），牛顿力学体系（俗称“经典力学”）…

　　确界原理：设S为非空数集。若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。
　　确界原理的另一种表达：有上界的非空数集必存在上确界；有下界的非空数集必存在下确界。
　　…数集：数的集合…
　　…空集：空的集合（不含任何元素的集合）…
　　…非空集合：至少含有一个元素的集合…
　　…非空数集：至少含有一个数的数集…
　　…
　　“我觉得这部分内容（包括上确界，下确界这些东西），初中生是完全可以理解的…”网友汇知园说。
　　…网友汇知园：见《欧几里得34》…

　　“虽然放在大学讲…其实，这些内容非常容易理解…只是大学很多教材写的不是很清楚…”汇知园接着说。
　　“大学教材…基本都是用希腊字母做证明…没有图示…”汇知园继续说，“‘确界’，其实都是集合理论…而集合理论…小学生都能理解…”