日期：2020-01-03 14:58:47
　　欧几里得79、普通人也会的高等数学：用奇数偶数，推出毕达哥拉斯悖论
　　“希伯斯发现边长相等的正方形其对角线长并不能用整数或整数之比表示…”大颖（yǐng）子说。
　　…大颖子：网友网名，见《欧几里得78》…
　　“假设正方形边长为1…设其对角线长为d…依勾股定理有d2=12+12=2（d的平方=1的平方+1的平方=2），即d2=2（d的平方=2）…那么d是多少呢？”大颖子接着说。
　　“显然d不是整数，那它必是两整数之比（分数）…希伯斯花了很多时间来寻找这两个整数之比，结果没找着，反而找到了两数不可通约的证明…”大颖子继续说。
　　…通约：通分，约分，简称“通约”…
　　…不可通约：不能通分，约分…
　　“通分需分子分母同时乘一个数，约分需分子分母同时除一个数…”一位爱学习的女生说，“什么数不能通分约分呢？—整数、分数以外的数不能通分约分~”
　　…
　　边长为1的正方形，对角线长为d…d如果是两整数之比，则两整数不可通约…用反证法证明如下：设直角△ABC两直角边为a=b，斜边为c，依勾股定理有c2=2a2（c的平方=2×a的平方）。
　　设已将a和c中的公约数约去，a为偶数。
　　由于a，c没有公约数2所以c为奇数。
　　“c2=2a2（c的平方=2×a的平方）”…a的平方的二倍是偶数，a的平方的二倍=c的平方，所以c的平方是偶数…奇数平方是奇数，偶数平方是偶数，所以c为偶数。
　　这与前面已证c为奇数矛盾。

　　设已将a和c中的公约数约去，a为奇数。
　　“c2=2a2（c的平方=2×a的平方）”…c2（c的平方）为偶数…奇数平方为奇数，偶数平方为偶数，所以c为偶数。
　　不妨令c=2m，则有：（2m）2=2a2—（2m）的平方=2×a的平方
　　（2m）2=2a2化简一下得2×m2=a2（2×m的平方=a的平方）…于是a为偶数。
　　这与前提a为奇数矛盾。
　　以上发现历史上称为毕达哥拉斯悖论。

　　…悖：1.相反；违反：并行不～。2.违背道理；错误：～谬…
　　…悖论：逻辑学指可以同时推导或证明两个互相矛盾的命题的命题或理论体系…
　　…
　　历史上，人们对“证明根号2是无理数”很感兴趣（就像人们对证明勾股定理很感兴趣一样）…“根号2是无理数”的证明方法层不出穷…以下是常见的几种：
　　欧几里得《几何原本》中的证明方法：
　　证明√2是无理数
　　设√2不是无理数
　　∴√2是有理数
　　…
　　∴：数学符号“所以”…雷恩是首个以符号“∴”表示“所以”（therefore）的人（“主要是因为写字母太麻烦了~”雷恩说。），他于1659年的一本代数书中以“∴”及“∴”两种符号表示“所以”，其中以“∴”用得较多。而该书1668年的英译本亦以此两种符号表示“所以”，但以“∵”用得较多…至18世纪中，“∵”用以表示“所以”至少和“∴”用得一样多。到了1827年，由剑桥大学出版的欧几里得《几何原本》中分别以“∵”表示“因为”，及以“∴”表示“所以”…这用法日渐流行，且沿用至今。

　　“公约数只有1的两个整数，叫做互质整数…
　　请看下集《欧几里得80、数学符号“∴”；欧几里得证明√2是无理数的方法；排中律》”
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　　日期：2020-01-04 18:55:43

　　欧几里得80、数学符号“∴”；欧几里得证明√2是无理数的方法；排中律
　　…克里斯托弗·雷恩（Sir Christopher Wren，1632-1723年，英国皇家学会会长，天文学家和著名建筑师）：生于威尔特郡蒂斯巴里。在牛津大学学习，1651年获文学学士学位，1653年获文学硕士学位，1661年获民法博士学位。曾获剑桥大学法学博士学位。1652－1661年在万灵学院任教。1657－1660年兼任伦敦格雷沙姆学院天文学教授。1661－1673年任牛津大学天文学教授。1669年直到他逝世前的数年，他担任皇室著作的主检查员，是伊萨克·巴罗、罗伯特·波义耳、约翰·沃利斯、埃德蒙多·哈雷、牛顿、罗伯特·胡克等当时著名科学家好友…雷恩是英国皇家学会创始人之一…

　　欧几里得《几何原本》中，“根号2是无理数”的证明方法：
　　证明√2是无理数
　　设√2不是无理数
　　∴√2是有理数
　　…∴：数学符号“所以”，见《欧几里得79》…
　　令 √2=p/q（p、q互质）
　　…互质：公约数只有1的两个整数，叫做互质整数…
　　负数可以互质吗？—网友提问
　　“不可以，因为质数、互质数都是在自然数的范围内讨论的，自然数不包括复数…”网友过尽千帆说。
　　“不可以，互质数是自然数，自然数是大于等于0的数…”网友“shui-hw”说。

　　…
　　一正一负存在互质么？—网友提问
　　“不存在，质数的讨论范围是正整数…”网友“zxh68xy”回答。
　　“存在…两个数互质不代表这两个数为互质数—范畴不一样：互质的两个数，属于整数集；互质数，属于非零自然数集…”网友“wzjjimthem”说。
　　…
　　“结合网友智慧，p、q互质，就是说，p、q为整数…”现代学者说。
　　…
　　√2=p/q两边平方得：2=（p/q）2（2=“p/q”的平方）
　　即：2=p2/q2（2=“p的平方”/“q的平方”）
　　通过移项，得：2q2=p2（2×q的平方=p的平方）
　　∴p2（p的平方）必为偶数

　　∴p必为偶数
　　…p、q为整数…整数要么是奇数，要么是偶数；“2×q的平方=p的平方”就是说，p的平方是某整数平方的2倍…由偶数定义（能被2整除的数）知，p的平方是偶数…因为奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数，所以p是偶数。
　　不妨令p=2m，则有：2q2=（2m）2（2×q的平方=“2m”的平方）
　　2q2=（2m）2化简一下得q2=2m2（q的平方=2×m的平方）…于是q为偶数（推导方法和刚才推导“p为偶数”一样）。

　　p为偶数…q也为偶数…p、q有公约数2…这与前提“p、q互质”矛盾。
　　∴√2不是有理数（“此处运用了反证法…”现代百姓说。）
　　∴√2是无理数（“此处运用了排中律…”现代百姓说。）
　　排中律：形式逻辑的基本规律之一…指在肯定、否定之间必选其一，不能都不选。也就是对同一问题做的两个互相矛盾的判断中，必有一个是真的，非此即彼，不能都否定。如在“甲是乙”和“甲不是乙”这两个判断中，一定有一个是对的，有一个是错的，没有第三种可能…违反这条规律…会犯模棱两可的错误（百度汉语）…
　　“矛和盾是古代两种作用不同的武器…
　　请看下集《欧几里得81、排中律2；矛盾；命题；真命题》”
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