日期：2020-01-07 15:28:09
　　欧几里得83、欧几里得运用反证法，排中律，逻辑关系等知识进行证明
　　反证法：证明定理的一种方法。先提出和定理中的结论相反的假定，然后从这个假定中得出和已知条件相矛盾的结果来，这样就否定了原来的假定而肯定了定理。也叫归谬法（百度汉语）。
　　…谬：1.错误的；荒唐的。2.差错…
　　反证法2：通过断定与论题相矛盾的判断（即反论题）的虚假来确立论题的真实性的论证方法。反证法的论证过程如下：首先提出论题；然后设定反论题，并依据推理规则进行推演，证明反论题的虚假；最后根据排中律—既然反论题为假，原论题便是真的。

　　…排中律：见《欧几里得80、81》…
　　“反证法通过证明与命题相矛盾的命题（即反命题）为假，来证明命题为真…”现代百姓说。
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　　“欧几里得证明‘√2是无理数’过程中，先提出‘√2是无理数’的反命题—√2不是无理数（见《欧几里得80》）…”现代学者说。

　　“根据当时的学问，数要么是有理数，要么是无理数，没有第3种可能…”现代学者接着说，“√2不是无理数…根据排中律…√2是有理数…”
　　“欧几里得依据‘√2是有理数’进行推导…推导出了错误命题…”现代学者继续说。
　　…欧几里得推导出的错误命题：p、q有公约数2，这与前提“p、q互质”矛盾…见《欧几里得80》…
　　“根据逻辑关系‘公理是对的，推导方法是对的，那么得出的推论也是对的’知：推论是错的，推导方法、公理至少有一项是错的…”现代学者最后说。
　　“欧几里得的推导方法是对的…那么…根据‘推导方法、公理至少有一项是错的’知，欧几里得依据的公理是错的…”现代学者说。

　　“公理是‘√2是有理数’…”现代学者接着说。
　　“‘√2是有理数’是错的，那么…根据排中律，‘√2是有理数’的反命题—‘√2不是有理数’就是对的…”现代学者继续说。
　　“数要么是有理数，要么是无理数，没有第3种可能…√2不是有理数，根据排中律，√2是无理数…”现代学者最后说，“由此，‘√2是无理数’得证。”
　　“‘先提出反命题…’这种证明方法是反证法…欧几里得证明‘√2是无理数’过程中，运用了反证法、排中律、逻辑关系等知识…”现代学者说。

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　　“√2是无理数”有诸多证明方法…网友“寂寞de小老鼠”曾用一篇文章描述这些方法…
　　文章名是《证明根号2是无理数的八种方法》…
　　“√2是一个非常著名的无理数，第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的代价（见《欧几里得13》）—后世的数学史家所说的‘第一次数学危机’盖源于此…”寂寞de小老鼠说。
　　“风暴过去后，唤醒的却是数学家们对数的重新认识…实数的概念开始确立…”寂寞de小老鼠接着说，“在此意义上讲，√2的发现是人们对真理的追求、探索以致明朗的一个极好例证…”
　　…实数：见《欧几里得21》…
　　“质数：大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。

　　请看下集《欧几里得84、数学符号“（a，b）”；质数，互质数，互质数定理；完全平方数》”
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　　日期：2020-01-08 18:49:54
　　欧几里得84、数学符号“（a，b）”；质数，互质数，互质数定理；完全平方数

　　“换一个角度来看这个数（根号2），我们可以把它看作一根‘晾衣绳’，上面挂着许多有趣的方法，值得你仔细玩味…我准备从不同的角度来证明√2是一个无理数，从而体会这一点…”寂寞de小老鼠最后说。
　　…寂寞de小老鼠：网友网名，见《欧几里得83》…
　　证法1：尾数证明法
　　“假设√2是一个有理数，即√2可以表示为一个分数的形式√2=a/b。其中（a，b）=1，a与b都是正整数。则a2=2b2（a的平方=2×b的平方）…”寂寞de小老鼠说。
　　…
　　（a，b）=1什么意思？—网友提问
　　“（a，b）=1，即 a 与 b 最大的公因数是1…”网友“小小芝麻大大梦”说，“在数论中，记法（a，b）表示整数a与整数b的最大公约数（greatest common divisor，也译作最大公因数），即所有能同时整除 a 与 b 的正整数中最大的那一个…”
　　“比如，能同时整除 18 和 24 的正整数一共有四个：1，2，3，6。其中 6 最大，那么（18， 24）=6…”小小芝麻大大梦接着说，“（a，b）=1，即 a 与 b 最大的公因数是1（所有比 1 大的正整数都不能同时整除 a 和 b）…就是说，a与b互为质数…”
　　…质数：大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数…
　　…互为质数一般指互质数…
　　…互质数：公因数只有1的两个非零自然数，叫做互质数…
　　…互质数具有以下定理：
　　（1）公因数只有1的两个非零自然数,叫做互质数。举例：2和3，公因数只有1，为互质数；
　　（2）1和任何自然数互质。两个不同的质数互质。一个质数和一个合数，这两个数不是倍数关系时互质。不含相同质因数的两个合数互质。
　　（3）任何相邻的两个数互质…

　　…合数：自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。与之相对的是质数，而1既不属于质数也不属于合数。最小的合数是4…
　　…因数：整数a除以整数b（b≠0）的商正好是整数而没有余数，我们就说b是a的因数…例如：6÷3=2，3是6的因数…
　　…质因数：用做因数的质数…
　　…

　　“由于完全平方数b2（b的平方）的尾数只能是0、1、4、5、6、9中的一个，因此2×b2（2×b的平方）的尾数只能是0、2、8中的一个…”寂寞de小老鼠接着说。
　　…完全平方数：完全平方指用一个整数乘以自己，例如1×1，2×2，3×3等，依此类推…；若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数；完全平方数是非负数…
　　…完全平方数2：如果一个正整数a是某一个整数b的平方，那么这个正整数a叫做完全平方数。零也可称为完全平方数…完全平方数性质如下：（1）个位数字只能是 0， 1，4，5，6，9；（2）任何偶数的平方一定能被 4 整除…
　　“∵ a2（a的平方）=a×a，a×a含有因数5
　　∴ a含有因数5（此处运用了排中律）
　　请看下集《欧几里得85、√2是无理数的证明方法：尾数分析法；奇偶分析法》”
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