日期：2020-01-11 12:57:13
　　欧几里得87、利用代数基本定理证明√2是无理数
　　√2是无理数…证法4：
　　“仿上，得到a2=2b2（a的平方=2×b的平方），等式变形为b2=a2-b2=（a+b）（a-b）（b的平方=a的平方-b的平方=【a+b】【a-b】），因为b>1（见《欧几里得86》），因此存在质因数p，p整除a+b或a-b之一，或同时整除a+b与a-b…因此p能整除b…因为a2=2b2=2×b×b（a的平方=2×b的平方=2×b×b）…因此p能整除a…因此p是a、b的公因数—这与（a，b）=1矛盾…”寂寞de小老鼠说。
　　…寂寞de小老鼠：网友网名，见《欧几里得83》…

　　…仿上：模仿上面…
　　…质因数：见《欧几里得86》…
　　…（a，b）=1：a 与 b 最大的公因数是1，见《欧几里得84》…
　　“接下来的证法和‘证法3’中相同…”现代学者说。
　　…证法3：见《欧几里得86》…
　　证法5：利用代数基本定理
　　…
　　“根据代数基本定理，如果不考虑质因数的顺序，任何一个正整数都可以唯一地写成质数幂的积的形式，因此a=P1r1P2r2…Pmrm（a=p1的r1次方×p2的r2次方×…×pm的rm次方），b=q1s1q2s2…qnsn（b=q1的s1次方×q2的s2次方×…×qn的sn次方），其中P1，…，Pm与q1，…，qn都是质数，r1，…，rm与s1，…，sn都是正整数…”寂寞de小老鼠说。

　　…因数：见《欧几里得11》…
　　…幂：乘方运算的结果。nm（n的m次方）指m个n相乘。把nm（n的m次方）看作乘方的结果，叫做n的m次幂，也叫n的m次方…
　　“数学中的‘幂’，是‘幂’字面意思的引申…”现代学者说。
　　“‘幂’原指盖东西的布巾…数学中‘幂’是乘方的结果…而乘方的表示是通过在一个数字上加上标的形式来实现的…就像在一个数上‘盖上了一头巾’…”现代学者接着说，“把乘方叫做幂，形式上很契合…”

　　“在现实中盖头巾又有升级的意思…把乘方叫做幂正好契合了数学中指数级数快速增长的含义…”现代学者继续说，“把乘方叫做幂，内容上也很契合…”
　　…指数：幂运算a�6�7（a≠0）（读作“a的n次方”）中的一个参数，a为底数，n为指数，指数位于底数的右上角。幂运算表示指数个底数相乘。当n是一个正整数，a�6�7（a的n次方）表示n个a连乘…
　　…参：检验，用其他有关材料来研究，考证某事物：～考。～照…
　　…参数：表明现象、机构、装置的某种性质的量。如导电率、导热率、膨胀系数等…

　　“因为a2=2b2（a的平方=2×b的平方），所以P12r1P22r2…Pm2rm=21q12s1q22s2…qn2sn（P1的2r1次方×P2的2r2次方×…×Pm的2rm次方=2的1次方×q1的2s1次方×q2的2s2次方×…×qn的2sn次方）”，质数2在等式左边是偶数次幂，但在右边是奇数次幂，矛盾，因此√2是无理数…”寂寞de小老鼠接着说。
　　…
　　“不等式就是用大于（＞），小于（＜），大于等于（≥），小于等于（≤）连接而成的数学式子，它一般有如下八个基本性质：…
　　请看下集《欧几里得88、“√2是无理数”证法6；不等式的基本性质；连分数》”
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　　日期：2020-01-12 14:38:11
　　欧几里得88、“√2是无理数”证法6；不等式的基本性质；连分数
　　√2是无理数…证法6：
　　“假设√2=a/b，其中右边是最简分数，即在所有等于a/b的分数中，a是最小的正整数分子…”寂寞de小老鼠说。
　　…寂寞de小老鼠：网友网名，见《欧几里得83》…
　　“在a2=2b2（a的平方=2×b的平方）的两边减去ab有a2-ab=2b2-ab（a的平方-ab=2×b的平方-ab），a（a-b）=b（2b-a），即√2=a/b=（2b-a）/（a-b）…”寂寞de小老鼠接着说。

　　“右边的分子2b-a＜a，这与a是最小的分子矛盾，因此√2是无理数…”寂寞de小老鼠最后说。
　　…已知√2=a/b，a、b是正整数，比较2b-a与a的大小。
　　∵ √2=a/b
　　∴ √2b=a

　　将√2b=a带入2b-a与a中，得：
　　2b-a=2b-√2b=（2-√2）b
　　a=√2b
　　比较2b-a与a的大小，等于比较（2-√2）b与√2b的大小。
　　比较（2-√2）b与√2b的大小，等于比较（2-√2）与√2的大小。（此处运用了不等式的基本性质。）

　　∵ 2-√2＜√2
　　∴ 2b-a＜a
　　不等式的基本性质：不等式就是用大于（＞），小于（＜），大于等于（≥），小于等于（≤）连接而成的数学式子，它一般有如下八个基本性质：
　　1.如果x＞y，那么y＜x；如果y＜x，那么x＞y；（对称性）

　　2.如果x＞y，y＞z；那么x＞z；（传递性）
　　3.如果x＞y，z为任意实数或整式，那么x+z＞y+z，即不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；（加法单调性，即同向不等式可加性）
　　4.如果x＞y，z＞0，那么xz＞yz，即不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；（乘法单调性）
　　5.如果x＞y，z＜0，那么xz＜yz，即不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变；（乘法单调性2）
　　6.如果x＞y，m＞n，那么x+m＞y+n；（加法单调性2）
　　7.如果x＞y＞0，m＞n＞0，那么xm＞yn；（乘法单调性3）
　　8.如果x＞y＞0，那么x的n次幂＞y的n次幂（n为正数），x的n次幂＜y的n次幂（n为负数）。（正值不等式可乘方；正值不等式可开方）…
　　证法7：连分数法
　　“因为（√2+1）（√2-1）=1，因此√2-1=1/（1+√2），√2=1+1/（1+√2）…”寂寞de小老鼠说。
　　“√2=1+1/（1+√2），将分母中的√2用‘1+1/（1+√2）’代替，有√2=1+1/（1+1+1/（1+√2））=1+1/（2+1/（1+√2））…”寂寞de小老鼠接着说，“不断重复这个过程，得√2=1+1/（2+1/（2+…）） ”
　　“这是一个无限连分数，而任何有理数都可以表示为分子都是1、分母为正整数的有限连分数，因此√2是无理数…”寂寞de小老鼠最后说。
　　“奠基最初的意思是在打地基盖房搞建筑或一切破土动工的时候，选择一个吉时，向在此地埋葬的无主坟或者一切生灵祭奠，告知他们将于此地破土动工，请他们知悉并谅解或迁徙他方…
　　请看下集《欧几里得89、构图法；“奠基”的渊源；数学概念：单位》”
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