“p是偶数的话，p2（p的平方）就可以被4整除。约掉等式右边的一个2，可以看出q2（q的平方）也是偶数，即q是偶数…”网友说。
　　“这样，p是偶数，q也是偶数…那么p和q就还可以继续约分…与我们的假设矛盾…”网友接着说。
　　“根号2是无理数，我们证明到了。根号3呢？根号5呢？…”网友继续说。
　　“你可能偶尔看到过，Theodorus（通常译为西奥多罗斯）曾证明它们也是无理数。但Theodorus试图证明17的平方根是无理数时却没有继续证下去了…”网友最后说。
　　…根：1.高等植物的营养器官，能够把植物固定在土地上，吸收土壤里的水分和溶解在水中的养分，有的根还能贮藏养料。2.事物的本原；人的出身底细：祸～。寻～。从～儿上解决问题。知～知底…
　　…平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数就是a的平方根，也叫做a的二次方根。例如：5×5=25，5就是25的平方根…
　　“你可以在网上看到，Theodorus对数学的贡献之一就是‘证明了3到17的非平方数的根是无理数’。这给后人留下了一个疑问：怪了，为什么证到17就不证了呢？…”网友说。
　　…平方数（或称完全平方数）：指可以写成某个整数的平方的数，即其平方根为整数的数。例如，9 = 3 × 3，9是一个平方数…

　　““你可以在网上看到，Theodolites（通常译为西奥多罗斯）对数学的贡献之一就是‘证明了3到17的非平方数的根是无理数’。这给后人留下了一个疑问：怪了，为什么证到17就不证了呢？…”网友说。
　　请看下集《欧几里得91、西奥多罗斯为什么证到17就不证了呢？》”
　　欧几里得91、西奥多罗斯为什么证到17就不证了呢？
　　“你可以在网上看到，Theodolites（通常译为西奥多罗斯）对数学的贡献之一就是‘证明了3到17的非平方数的根是无理数’。这给后人留下了一个疑问：怪了，为什么证到17就不证了呢？…”网友说。
　　“一位俄国的数学历史家‘猜’到了原因…”网友接着说，“他猜测，当时Theodorus就是用类似上面的方法（见《欧几里得91》）证明的…比如，要证明根号x不是有理数，于是设√x=p/q…得p2=xq2（p的平方=x·q的平方）…”
　　“我们已经证过x=2的情况了，剩下来的质数都是奇数。如果x是奇数且p/q已经不能再约分，那么显然p和q都是奇数…”网友继续说。
　　…
　　x是奇数且p/q已经不能再约分（x、p、q是正整数），则p和q都是奇数。

　　证明如下：
　　设：q是偶数
　　∵ p2=xq2（p的平方=x·q的平方），偶数的平方是偶数
　　∴ q2（q的平方）是偶数
　　∴ xq2（x·q的平方）是偶数（正整数乘以偶数，结果还是偶数）
　　∵ p2=xq2（p的平方=x·q的平方）
　　∴ p2（p的平方）是偶数

　　∴ p是偶数（正整数中，只有偶数的平方是偶数，没有其它可能）
　　∴ p、q都是偶数。
　　p、q都是偶数，这与“p/q已经不能再约分”矛盾。
　　“q是偶数”违反了矛盾律（见《欧几里得82》），根据人们对“错误”的定义（见《欧几里得82》），“q是偶数”是错的。
　　根据排中律（见《欧几里得80、81》），“q是偶数”是错的，那么它的反命题—q是奇数就是对的。
　　∴ q是奇数
　　∴ q2（q的平方）是奇数（奇数的平方是奇数）
　　∵ x是奇数
　　∴ xq2（x·q的平方）是奇数（奇数乘以奇数结果还是奇数）
　　∵ p2=xq2（p的平方=x·q的平方），xq2（x·q的平方）是奇数

　　∴ p是奇数（正整数中，只有奇数的平方是奇数，没有其它可能）
　　…
　　“一个奇数2n+1的平方应该等于4（n2+n）+1—4×（n的平方+n）+1，即8·n（n+1）/2 + 1…”网友最后说。
　　…奇数可以表示成2n+1（n为整数），见《欧几里得11》；（2n+1）的平方=（2n+1）×（2n+1）=4n的平方+2n+2n+1=4n的平方+4n+1=4（n的平方+n）+1=4n（n+1）+1= 8·n（n+1）/2 + 1
　　“其中n（n+1）/2肯定是一个整数…”网友说。
　　…
　　奇数2n+1的平方=8·n（n+1）/2 + 1，n（n+1）/2是一个整数。
　　证明：
　　∵ n，n+1为连续自然数
　　∴ n，n+1为一奇一偶
　　∴ n（n+1）是偶数（奇数乘以偶数得偶数）
　　∴ n（n+1）能被2整除
　　∴ n（n+1）/2是整数

　　…
　　“如果p=2k+1，q=2m+1，把它们代进p2=xq2（p的平方=x·q的平方），有8[k（k+1）/2–xm（m+1）/2]=x-1…”网友接着说。
　　…p=2k+1，q=2m+1，代入p2=xq2（p的平方=x·q的平方）得：（2k+1）2=x（2m+1）2（【2k+1】的平方=x·【2k+1】的平方）
　　（2k+1）2=x（2m+1）2两边化简：
　　4k2+4k+1=x（4m2+4m+1）

　　8·k（k+1）/2 + 1=x[8·m（m+1）/2 + 1]
　　8·k（k+1）/2 + 1=x·8·m（m+1）/2 + x
　　两边同时减1：
　　8·k（k+1）/2 =x·8·m（m+1）/2 + x-1
　　两边同时减x·8·m（m+1）/2 ：
　　8·k（k+1）/2-x·8·m（m+1）/2=x-1
　　提取公因式：
　　8[k（k+1）/2–x·m（m+1）/2]=x-1
　　“…
　　请看下集《欧几里得92、数学家西奥多罗斯能做到的，我们也能做到》”
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