日期：2020-01-16 15:21:44
　　欧几里得92、数学家西奥多罗斯能做到的，我们也能做到
　　“如果p=2k+1，q=2m+1，把它们代进p2=xq2（p的平方=x·q的平方），有8[k（k+1）/2–xm（m+1）/2]=x-1…（化简过程见《欧几里得91》）…”网友接着说。
　　“于是x-1必须是8的倍数…”网友继续说。
　　…证明：
　　由《欧几里得91》知，k（k+1）/2，m（m+1）/2均是整数。
　　∴ 8[k（k+1）/2–xm（m+1）/2]=x-1可表示成8（整数-x·整数）=x-1
　　∵ x是正整数（见上集）

　　∴ 8（整数-x·整数）=x-1可表示成8（整数-整数·整数）=整数-1
　　8（整数-整数·整数）=整数-1
　　两边同时除以8：
　　整数-整数·整数=（整数-1）/8
　　∵ “整数-整数·整数”是整数
　　∴（整数-1）/8是整数

　　∴ （整数-1）必须是8的倍数
　　∴ x-1必须是8的倍数。
　　…
　　“如果当时Theodorus（西奥多罗斯）是这么证明的，那么他可以得到这样一个结论：如果x-1不能被8整除，那么√x就不可能被表示成p/q，即√x不是有理数…”网友最后说。
　　…
　　证明√x（x是自然数）不是有理数。

　　设√x是有理数
　　则√x=p/q（p、q是正整数）
　　…有理数的性质：有理数可以表示成两个整数之比。
　　如果x是奇数且p/q不能再约分，那么p和q都是奇数（证明见《欧几里得91》）。
　　奇数可以表示成2n+1（n为整数）。
　　…奇数的定义。
　　∴ p可以表示成2k+1，q可以表示成2m+1。（k、m为正整数。）
　　∵ p=2k+1，q=2m+1时，p2=xq2（p的平方=x·q的平方）成立的条件是：x-1是8的倍数。
　　∴ x-1不是8的倍数时，p2=xq2（p的平方=x·q的平方）不成立。
　　p2=xq2（p的平方=x·q的平方）不成立，即：√x=p/q不成立…√x无法表示成p/q…√x是无理数。
　　∴ x-1不是8的倍数时，√x是无理数
　　…
　　“x-1不是8的倍数时，√x是无理数…好了，现在3、5、7、11、13减去1后都不是8的倍数，它们的平方根一定不是有理数…”网友说。
　　“在x=9时发生了一次例外，但9是一个平方数…”网友接着说。
　　…x=9时发生了一次例外：x=9时，x-1=9-1=8，是8的倍数。
　　根据“x-1不是8的倍数时，√x是无理数”，无法判断√9的平方根是无理数，还是不是无理数。
　　“我们知道，√9的平方根是3，不是无理数…所以‘√9的平方根是无理数，还是不是无理数’不需要再判断…”现代学者说。
　　“因此，西奥多罗斯得以越过9，继续证下去…”现代学者接着说。
　　…
　　“而当x=17时这种证明方法没办法解释了，于是Theodorus就此打住…”网友最后说。

　　…x=17时，x-1=17-1=16，是8的倍数。
　　根据‘x-1不是8的倍数时，√x是无理数’，无法判断√17的平方根是无理数，还是不是无理数。
　　“从17开始，‘x-1不是8的倍数时，√x是无理数’这种证明方法开始失效…西奥多罗斯无法继续证下去…所以他就此打住…”现代学者说。
　　““有人觉得奇怪了：既然当时没有代数，古希腊人是怎么提出‘所有数都可以表示为整数之比’的呢？…”网友继续说，“其实古希腊人根本没有提出什么整数之比，这是后人的一个误解…当时毕达哥拉斯学派提出的，叫做‘公度单位’…”
　　请看下集《欧几里得93、现代司空见惯的“奇数x偶数y”，放在古代却是高科技》”
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　　日期：2020-01-18 14:42:56

　　欧几里得93、现代司空见惯的“奇数x偶数y”，放在古代却是高科技
　　“0的平方根是0，1是平方根是1，2的平方根（√2）已被希帕索斯证明是无理数（见《欧几里得79》），4、9、16…是平方数，它们的平方根是已知的数…”另一位现代学者说，“所以…西奥多罗斯打算寻找剩下的数的平方根…”
　　“剩下的数是：3、6、7、8…”现代学者接着说。
　　“如果剩下的数的平方根不能用整数之比表示出来…那它们就和√2一样，是无理数…”现代学者继续说。
　　“西奥多罗斯曾尝试证明它们是无理数，并成功证明‘3到17的非平方数的根是无理数’（见《欧几里得90~92》）…”现代学者最后说。
　　…
　　“实际上，我们上面说的这么多（见前文），在古希腊的数学体系中是根本不可能出现的…”网友说，“毕达哥拉斯时代根本没有发展出代数这门学科来…它们掌握的只是纯粹的几何…因此，Hippasus（通常译为西奥多罗斯）当时的证明不可能像我们现在这样搞点什么奇数x偶数y之类的高科技东西…”
　　…代：代替…
　　…代数：数学的分支学科。通过用字母代表数进行运算。能简明地表示数量关系…

　　“事实上，Hippasus当时完全运用的平面几何知识来证明他的结论…”网友接着说。
　　…平面：在空间中，到两点距离相同的点的轨迹…
　　…平面2：由显示生活中（例如镜面、平静的水面等）的实物抽象出来的数学概念，但又与这些实物有根本的区别。既具有无限延展性（也就是说平面没有边界），又没有大小、宽窄、薄厚之分…
　　（…抽象：见《欧几里得17》…）
　　…几何：1.多少：价值～。2.数学的分支学科。研究物体的形状、大小和位置及它们的相互关系…
　　…平面几何：几何学的一个分支，研究平面图形的性质，如形状、大小、位置等…
　　…平面几何2：指按照欧几里得的《几何原本》构造的几何学。也称欧几里得几何。平面几何研究的是平面上的直线和二次曲线（即圆锥曲线， 就是椭圆、双曲线和抛物线）的几何结构和度量性质（面积、长度、角度，位置关系）。平面几何采用了公理化方法，在数学思想史上具有重要的意义…
　　“有人觉得奇怪了：既然当时没有代数，古希腊人是怎么提出‘所有数都可以表示为整数之比’的呢？…”网友继续说，“其实古希腊人根本没有提出什么整数之比，这是后人的一个误解…当时毕达哥拉斯学派提出的，叫做‘公度单位’…”
　　…公：共同的…
　　…度：计量长短：～量衡…
　　…公度：几何学概念。对于两条线段a和b，如果存在线段d，使得a=md，b=nd（m，n为自然数），那么称线段d为线段a和b的一个公度。并称线段a和b为可公度线段或可通约线段。如果对于线段a和b，这样的线段d不存在，那么称线段a和b为无公度线段或不可通约线段…
　　““欧几里德算法是用来求两个正整数最大公约数的算法。是由古希腊数学家欧几里德在其著作《The Elements》中最早描述的，所以被命名为‘欧几里德算法’…”现代学者说。

　　请看下集《欧几里得94、欧几里德算法（辗转相除算法）》”
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