日期：2015-01-03 10:28:42
　　属于星星的几何学
　　下面，让我们跟随两位勇敢的先行者，借助两个神奇的三角形，钻入违反常理的非欧乐园吧。结识几何学之初，相信每个人都从欧几里得那本比《启示录》还要古老的典籍中读到过一条真理：“三角形的内角之和等于180°”。在任何平铺的白纸上，无论画出多少直角、锐角、钝角三角形，测量其内角之和必定不多不少恰好等于180°；还可以把纸卷起来，弯成粗筒、细筒、三角锥……一切你能够开发的奇形怪状，画在纸面的三角形并不会“掉”下来，也就是说，各内角之和依然保持180°。

　　但世上的纸，可不一定都是平展的。把一个皮球剪开剖成两半，取其中任意一块，不论你怎样拉扯半球的外表面都不可能紧紧与桌面相贴合——中间总是要凸起一部分。再把一游泳圈拿来，这回需要动三刀：两刀截下其中一段，再沿其外圈剪开，你将得到一张马鞍形的皮膜，把它放到桌面上，不论怎样按压——两端总是高高翘起。在这些特殊的面上画三角形，结果会怎样呢？
　　图1为球体表面的三角形，与平面上的哥们儿比起来，它长胖了。此时，若测量其内角之和，你将得到一大于180°的数值！不信？脚下就有个生动的例证：站在地球南极极点，沿着经线往北走1千米，转身朝西走1千米，再次转身，沿着另一根经线往南走1千米，低头一看——你又回到了南极点上。三条路线首尾相连，构成一闭合图形：“胖三角”，而你从南往西再由西向北，每个转角都是方方正正的90°，加起来刚好180°，剩下那个夹角不论多大，添上去都妥妥地超越了180°。再看图3，马鞍表面的三角形则显得有些瘦弱，经过测算可知：其内角之和小于180°。

　　是什么因素在操纵着三角形的三个角呢？当你把平展的白纸换做高凸的球面或扭曲的马鞍时，究竟改变了什么？
　　就在罗巴切夫斯基向世人敞开非欧几何花园的同年，普鲁士汉诺威城附近一个偏僻的小村庄里，清苦的路德会牧师家庭迎来了他们的第二个孩子：伯恩哈德?黎曼（Bernhard Riemann）。这个性格腼腆的男孩早在六岁时就已显露出超凡的数学天分，能够解答大人们给出的任何算数题，甚至还自个儿创造出一些比专业教师所掌握的更好的算法。十九岁时，黎曼跨入学术圣殿哥廷根，为了子承父业他原本打算攻读神学，但却不知不觉被学校开设的数学课程给吸引住了；小心翼翼地征得父亲的同意后，黎曼转入柏林大学，不想却被卷入一场政治动乱，曾充当“学生军”一连十六小时守护在皇宫外保卫国王……

　　1849年，声名如日中天的高斯已渐入晚年，看来他是铁了心要把自己神游非欧城堡的小秘密独自带入坟墓了，可历史就像一个爱捉弄人的精灵，偏偏不愿放过逃避使命的人。当二十二岁的黎曼几经周折重新回到算符乐园，他毫不犹豫地选择了心仪已久的“数学魔法师”高斯作为自己攻读博士学位的导师。此后的五年间，黎曼自由驰骋于思维王国，在数学分析、函数论、偏微分等方面做出许多开创性的工作；他的ζ函数引发起众高手在数之汪洋中探求质数分布规律的新一轮狂潮，从1851年问世之日起到1900年希尔伯特在那举世瞩目的数学年会上把其收编为亟待解决的“23大难题”再到今日，人类又跨入一个全新的世纪，这一命题仍是数学皇后——数论——皇冠上最耀眼的宝石，吸引着世上最聪明的头脑前去摘取……但当时全欧洲可供学者谋生的职位少之又少，即便哥廷根这样的顶尖学府，老教授的位置不空缺，年轻一辈成绩再出色也安插不进来；直到1854年，黎曼才好不容易争取到一个没有工资、但可由学生们付钱聘请他教课的教师岗位，他立即全情投入地开始准备任职资格报告。

　　按照校方要求，他必须向系里提交三篇尚未发表的论文，每篇所涉及的领域还得各不相同。黎曼将第一、第二论题都选在自己驾轻就熟的领地，但第三个命题——几何——对他来说却是一片相对陌生的新天地。最终的入职演讲只需从三论题中任选其一，一般来说，学院的诸位大师也明白术业各有专攻的道理，不太会为难这些将来的接班人，都倾向于考察他们排在前面的论题。但这一次，导师高斯也许是觉得眼前这位年轻人的才气非同一般，玉璞须得精心雕琢才能终成大器；也或许是因为自己在一片漆黑中曾被第五公设折磨了几十年，憋闷在心，他鬼使神差地指定黎曼必须以第三论题接受每一位受邀学者的考问。